Как стать автором
Обновить

Диаграммы Фейнмана в первом классе

Время на прочтение 5 мин
Количество просмотров 11K

Первый раз в первый класс

Старшая дочь, 7 лет отроду, учится во втором классе бразильской школы - здесь дети идут в первый класс в 6 лет. Времена нынче трудные, школы уже 3 полугодия закрыты. Поэтому по сути в школу она так и не ходила. Справедливости ради надо сказать, что в 3 года в садике она выучила португальский в объеме достаточном для жизни, в 4 года ее обучили буквам и счету, в 5 лет она ходила в подготовишку к первому классу в Томске и тоже чему-то научилась. Сейчас у нее каникулы. И мы решили записаться в русскую онлайн школу. Там как раз есть тестовые 2 недели. Пошли в первый класс. И вот, на первом занятии по русскому языку я вижу диаграммы Фейнмана! Я чуть со стула не свалился...

Вывод уравнения Дайсона (по сути, геометрическая прогрессия)
Вывод уравнения Дайсона (по сути, геометрическая прогрессия)

Нет, такие диаграммы еще в первом классе не рисуют, но очень похоже на то, как изображают предложение. Оказывается, речь состоит из предложения, а предложения из слов. И каждое предложение можно представить диаграммой, где "пропагатор", то есть черта, будет соответствовать слову. Пропагатор с черточкой будет соответствовать Первому слову предложения, а вершина точка - концу предложения. Вот такая диаграммная техника!

Я придумал такие: Запишем лагранжиан. Вычислим вариационную производную. Действие должно быть стационарно. Произвольные траектории системы соответствуют квантовым флуктуациям.
Я придумал такие: Запишем лагранжиан. Вычислим вариационную производную. Действие должно быть стационарно. Произвольные траектории системы соответствуют квантовым флуктуациям.

Эти диаграммы - какой-то знак в моей жизни, в этом году всплыли 3 раза. Сначала, два магистранта физика ко мне обратились, чтобы я им объяснил диаграммную технику Келдыша для расчетов тока в квантовой электрической цепи, потом возникла тема с применением диаграмм Фейнмана в геофизике сейчасразбираюсь, и наконец - в первом классе в школе!!!! Буду думать, чтобы это значило... А пока, расскажу вам, как очень похожие на рисунки со словами в предложении картинки могут помочь в работе с полиномами Эрмита!

Следуй в направлении своей мечты - тоже знак! Стрелка влево, значит это позитрон!
Следуй в направлении своей мечты - тоже знак! Стрелка влево, значит это позитрон!

От родной речи к полиномам Эрмита

О важности полиномов Эрмита в IT не стоит и упоминать. Как учил нас великий Гротендик, всю математику можно перевести в язык детских рисунков. Если уж всю математику можно, то что говорить о полиномах. Эту технику работы с ними я выучил, когда пытался найти доказательство одной формулы в общем виде. В формуле фигурировали детерминанты составленные из полиномов Эрмита и не берущихся интегралов.

На заре своей научно-исследовательской карьеры, в магистратуре, я использовал версию Matemathica 6, которая мою формулу не могла переварить, и возвращала то, что я итак знал. Когда, почти 10 лет спустя я, при подготовку к семинару, запустил старый файл в новой версии программы, то очень удивился, увидев волшебное сокращение и упрощение - все не берущиеся интегралы исчезли. Это было хорошо для частных случаев, примеров. В каждом конкретном случае, чудесная Matemathica упрощала нужные выражения, и все нежелательные члены сокращались. Почему так происходило - это была загадка! Но я подозревал, что есть какое-то свойство полиномов Эрмита, которое работает во всех возможных случаях.

Признаться, не помню почему, пропустил некоторые занятия по математической физике, где изучали разные спецфункции. Поэтому упоминание Бесселя, или Эрмита меня вводили в ступор. Например, потому что с каждой новой спецфункцией на человека обрушивается шквал важных и полезных соотношений, и сходу систематизировать и разложить их по полочкам не удается. С Бесселем мне помогла справиться суперсимметрия и это,видимо,одно из немногих полезных приложений суперсимметричной деятельности. С полиномами Эрмита - операторы рождения и уничтожения. Оказалось, что можно совсем уж на уровне первого класса.

Давайте нарисуем N точек. Некоторые пары точек соединим черточками, из каждой точки может выходить только одна черта=ребро, некоторые точки оставим без пары. Это и будет основой для записи алгебраического выражения полинома Эрмита. Чтобы получить полином Эрмита порядка N надо нарисовать все возможные графы такой структуры, выписать соответствующие алгебраические выражения и сложить! По определению, полиному нулевого порядка - пустое множество точек - ставим в соответствие 1. Понятно, что первый полином - это одна точка, никаких вариантов нет, H1 x=x. Второй полином - две точки. В этом случае есть 2 графа - две точки, либо одно ребро. По нашим правилам H2x=x2-1. Для третьего полинома получается уже 4 графа, поэтому надо рисовать картинку

Граф и правила сопоставления. Каждому ребру сопоставляем множитель -1, каждой отдельной вершине множитель x. Вычисление третьего (вероятностного) полинома Эрмита с помощью графов. Графический вывод рекуррентного соотношения для полиномов Эрмита.
Граф и правила сопоставления. Каждому ребру сопоставляем множитель -1, каждой отдельной вершине множитель x. Вычисление третьего (вероятностного) полинома Эрмита с помощью графов. Графический вывод рекуррентного соотношения для полиномов Эрмита.

Вообще, такие графы изображают особые функции или перестановки на множестве точек, которые называются инволюциями - если сделать инволюцию два раза, то все вернется на исходные позиции. Понятно, что вычислять полином большого порядка с помощью графов дело неблагодарное. Но, графический метод может еще сослужить службу при выводе рекуррентных соотношений - а это самый быстрый и надежный способ вычислять полиномы из какого-то семейства.

Представим, что полином порядка N мы уже вычислили, и все диаграммы для него нарисовали. Обозначим любую из этих диаграмм прямоугольником. Чтобы получить полином N+1 порядка мы должны добавить одну точку. Эта точка изменит диаграммы двумя способами. Она или останется свободной и не будет связана с остальными точками, что даст дополнительный множитель x к каждой диаграмме, а после суммирования этих диаграмм получится x*HNx. Либо, эта точка будет соединена ребром с одной из точек предыдущего набора диаграмм, что даст множитель −1. В этом наборе окажутся все диаграммы с N-1 точкой, но каждая будет повторяться N раз (поскольку есть N способов провести это ребро между новой точкой и старыми). А после суммирования получится -N*HN−1x. Ура, мы вывели рекуррентное соотношение

H_{N+1}=xH_N(x)-NH_{N-1}(x)

Игрушечная квантовая теория поля

С помощью диаграмм можно еще вывести производящую функцию используя технику "комплекса разбиений". Физики-теоретики переоткрыли ее, когда стали работать с уравнениями Дайсона в квантовой теории поля. Грубо говоря, среди всего множества диаграмм, можно выделить основные, которые называются неприводимыми. Как правило, такие диаграммы отличаются топологической связностью - т.е. представляют собой объект, все части которого соединены. В квантовой теории поля более строгое требование−объект не должен разваливаться от одного разреза. Для наших графов и полиномов Эрмита неприводимыми будут точка и ребро. Получается что функция

f_c(t,x)=xt+(-1)\frac{t^2}{2!}

будет производящей функцией для всех наших неприводимых диаграмм.

Производящая функция - это просто бесконечная сумма по степеням параметра t, которая получается при разложении в ряд Ньютона Тейлора, а коэффициенты при степенях это то, что она производит. Например, вспомнив разложение экспоненты в ряд Тейлора это же в детском саду изучают?, увидим, что экспонента это производящая функция для числа перестановок N предметов встепени−1.

Математики доказали общую теорему, что если производящая функция для неприводимых диаграмм известна, то производящая функция всех диаграмм будет ее экспонентой

f(t,x)=exp(f_c(t,x))

Суммируя все вышесказанное, получим производящую функцию для вероятностных полиномов Эрмита

exp(tx-t^2/2!)=H_0(x)+H_1(x)t+H_2(x)\frac{t^2}{2!}+H_3(x)\frac{t^3}{3!}+\ldots

Физики успокаиваются, проверив первые два слагаемых ряда. Но тут все строго.

Является ли случайным совпадением то, что полиномы Эрмита входят в выражение для волновой функции N-частичного состояния квантового осциллятора - например, N фотонов моды электромагнитного поля, а в нашей модели появляются как производящие функции инволюций на множестве из N частиц точек - вопрос открытый!

Какой можно сделать вывод? Лично для меня, возможность вместо формул рисовать картинки всегда позволяет лучше вникнуть в суть. Теперь и робость перед спецфункциями у меня почти прошла. Нужно просто понять, "как их готовить".

PS. Именно вот эта техника мне в том доказательстве не пригодилась, но очень понравилась. После долгих поисков, я нашел что искал - сперва я вышел на неизвестную мне ранее область математики с интригующим названием "Теневое Исчисление" Umbral calculus. И штудируя учебники этой науки, нашел ключевое свойство - теневая композиция растянутых полиномов Эрмита снова давала растянутые полиномы Эрмита, а параметр растяжения был просто суммой исходных параметров растяжения!

Теги:
Хабы:
+21
Комментарии 11
Комментарии Комментарии 11

Публикации

Истории

Ближайшие события

Московский туристический хакатон
Дата 23 марта – 7 апреля
Место
Москва Онлайн
Геймтон «DatsEdenSpace» от DatsTeam
Дата 5 – 6 апреля
Время 17:00 – 20:00
Место
Онлайн